南京大学:概率论与数理统计-古典概率模型

古典概型(等可能概型)

满足公理化定义。
设E是一个试验,满足
(1) 只有有限多个样本点
(2) 每个样本点发生的可能性相同(等可能性)
若$\Omega = {w_{1}, w_{2},…, w_{n}}$,则$P(A) = \frac{A的基本事件个数}{基本事件总和} = \frac{A的有利场合数}{样本点的总和}$

排列组合

主要是用在古典概型中概率的计算。
(1) 加法原理:S类,第i类$r_{i}$种,则总计有$r_{1} + r_{2} + … +r_{S}$种
(2) 乘法原理: S个步骤,第i个步骤有$m_{i}$种,则总计有$m_{1}m_{2}…m_{S}$种
应用
(1) 选排列(乘法原理)
从n个不同的元素中任意选m个排成一列
$n(n-1)(n-2)…(n-m+1) = A_{n}^{m}$
当m = n,则称为全排列
(2) 可重复的排列
从n个不同的元素中有放回的取m个:$n\cdot n\cdot … \cdot n = n^m$
(3) 可重复的组合
从n个不同的元素中选m个,$C_{n}^{m} = \frac{A_{n}^{m}}{m!} = \frac{n!}{m!(n-m)!}$
公式:

计算古典概型

(1) 保证样本点的等可能性
(2) 模型化
例1:袋子中有a个黑球,b个白球,现一个个的摸出来,求:第k次摸到黑球的概率?($1\leq k \leq a+b$)
解法1:排列
样本空间:$(a+b)!$
有利场合:$a(a+b-1)!$
概率:$\frac{(a+b)!}{a(a+b-1)!} = \frac{a}{a+b}$
解法2:组合
样本空间:$C_{a+b}^{a}$
有利场合:$C_{a+b-1}^{a-1}$
概率:$P = \frac{C_{a+b-1}^{a-1}}{C_{a+b}^a} = \frac{a}{a+b}$
上面这中其实就是一种抽签模型,得到机会的可能性和抽签顺序是没有关系的。
例2:设有n个球,每个球都可以以同样的概率$\frac{1}{N}$落到N个格子的每一个格子中,求:
(1) 某指定的n个格子中各有一个球的概率P(A)
(2) 任何n个格子中各有一个球的概率P(B)
解:
样本空间:$N^n$

这个可对应于教室中n个同学,有同学生日是同一天的概率。
当n = 40时,生日都不相同的概率为: $P = \frac{C_{N}^{n}\cdot n!}{N^n} \approx 0.109$
当n > 50时,有两个同学生日相同的概率是很大的。
这个概率大小和我们的直觉是相差比较大的。

有限古典概型的推广 - 几何概型

$P = \frac{有利场合测度}{样本空间\Omega 测度}$
例:会面问题:两人相约5点到6点在某地见面,先到者等候另外一个人20分钟,过时即可离去,求这两个人见面的概率?
解:以x, y表示两人到达的时刻,则$|x-y| \leq 20$
$P = \frac{60^2 - 40^2}{60^2} = \frac{5}{9}$

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