南京大学:概率论与数理统计-条件概率,乘法公式,全概率公式,贝叶斯公式

条件概率

我们平常所遇到的绝大多数概率都是有条件的。
定义:设有两个事件A、B,$P(B) \neq 0$,那么在给定B发生的条件下A发生的概率记为$P(A|B)$。
计算公式:$P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$
理解:试验有N个结果(等可能的)
A: $M_{1}$个
B: $M_{2}$个
AB: 共有$M_{12}$个
若Bf发生,则现在新的样本空间为$M_{2}$个,则:

可以在老的样本空间进行处理,或者从新的样本空间角度进行处理
条件概率也可以推广到几何概型中。
以m(A),m(B),m(AB),$m(\Omega)$表示A, B, AB, $\Omega$所对应的测度,且m(B) > 0,则

若P(B) > 0,满足公理化三条定理
(1) $0 \leq P(A|B) \leq 1$
(2) $P(\Omega|B) = 1$
(3) 若$A_{1}, A_{2},…$互不相容,则$P(\cupA_{i}|B) =\sum_{i=1}^{\infty}P(A_{i}|B)$

$P(B) > 0时$,$P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}\Rightarrow P(AB) = P(B)\cdot P(A|B)$,后面这个公式称乘法公式
推广到三个事件:
设$A_{1}, A_{2}, A_{3}$是试验E的三个事件,若$P(A_{1}A_{2}A_{3})>0$,则

全概率公式

$B_{1}, B_{2},…, B_{n}$是$\Omega$的一个完备事件组($B_{1}\cup B_{2}…\cup B_{n} = \Omega, B_{i}\cap B_{j} = \phi(i \ne j)$),

贝叶斯公式

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