概率论与数理统计-概率的定义、性质

历史

  • 概率论起源于17世纪
  • 1654年,Pascal和Fermat对“分赌本”问题的讨论
  • 使概率论成为数学的一个分支的真正奠基人是瑞士数学家J. 伯努利
  • 概率论的飞速发展则在17世纪微积分学说建立以后

概率论是数理统计的基础,统计学是概率论的应用。

常见的例子

概率论与数理统计是研究随机现象的统计规律性的数学学科。

  • 泡一枚均匀的硬币若干次
  • 测量物理量(如:长度、时间etc)的误差
  • 某批产品的使用寿命

随机试验(简称:试验)

定义:
(1) 可以在相同的条件下重复进行
(2) 试验的全部结果 (不止一个),之前是知道的。
(3) 不能预言出现的结果。

随机试验出现的结果通常称为事件,通常用大写的字母A, B, C…表示。

概率分为两种:

  • 主观概率
  • 客观概率

平时做很多事情往往是依赖于我们的直觉判断,但直觉经常会出错,会欺骗我们。我们现在学习的概率(客观概率)能不断的帮助我们改进主观概率。
主观概率三个特点:
主观概率有广泛的生活基础,平时做决策都会用到。
主观概率反应了认识主体的倾向性,具有社会意义。
处于不同地位、掌握不同信息的人对事件的主观概率不一样。

1933年,科尔莫哥洛夫的公理化定义:
对随机事件A, 表示发生概率
(1) $0 \leq P(A) \leq 1$ (非负性公理)
(2) $P(\Omega) = 1$ (正则性公理)
(3) 若有互不相容的事件: $A_{1}, A_{2},…$, 则$P(\cup A_{j}) = \sum_{}P(A_{j})$ (可加性公理)

概率的性质:
(1) $p(\phi) = 0$
(2) 若$A_{1}, A_{2},…, A_{n}$互不相容,则$P(\cup A_{k}) = \sum_{k=1}^{n}P(A_{k})$
(3) 对任意事件,$P(A) + P(\bar{A}) = 1$
(4) 两个事件A, B, $A\subset B$, 则 $P(A)\leq P(B), P(B-A) = P(B) - P(A)$
(5) 对任意两个事件A,B, 则$A(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)$

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