概率论与数理统计-随机事件、样本空间

历史

  • 概率论起源于17世纪
  • 1654年,Pascal和Fermat对“分赌本”问题的讨论
  • 使概率论成为数学的一个分支的真正奠基人是瑞士数学家J. 伯努利
  • 概率论的飞速发展则在17世纪微积分学说建立以后

概率论是数理统计的基础,统计学是概率论的应用。

常见的例子

概率论与数理统计是研究随机现象的统计规律性的数学学科。

  • 抛一枚均匀的硬币若干次
  • 测量物理量(如:长度、时间etc)的误差
  • 某批产品的使用寿命

随机试验(简称:试验)

定义:
(1) 可以在相同的条件下重复进行
(2) 试验的全部结果 (不止一个),之前是知道的。
(3) 不能预言出现的结果。

随机试验出现的结果通常称为事件,通常用大写的字母A, B, C…表示。

$\Omega $: 必然事件
$\varnothing $: 不可能事件

基本事件:在试验中可直接观察到的、最基本的不能再分解的结果称为基本事件。(比如掷骰子,出现结果1,2,3,4,5,6为基本事件)
(复合)事件: 由基本事件组合而成的事件。(掷骰子,出现结果为奇数为复合事件)

样本空间:由所有试验的结果组成的集合,也可以说是由全体基本事件组成的集合。用$\Omega $表示,即样本空间是必然事件,里面的样本点用$w$表示。

Ex1:将一枚硬币抛两次,H: 正面,T:反面。
则样本空间 $\Omega = {HH, HT, TH, TT}$

Ex2:连续向以目标射击,直到命中。$w_{i}$:前i-1次未能命中,而第i次命中,i = 1,2,3…
这样本空间 $\Omega = {w_{1}, w_{2}, w_{3},……}$ 无限的样本空间。

事件之间的关系与运算(集合,用venn图来表示)

(1)包含关系:$A \subset B$,如果$A \subset B$, $B \subset A$,那么$A = B$
(2)和或者并关系:$A \cup B$
(3)积或者交关系:$A \cap B = AB$,其中若$AB = \varnothing$,即A与B互不相容,或者互斥。若$A_{1}\cup A_{2} \cup … \cup A_{n} = \Omega$,且$A_{i} \cap A_{j} = \varnothing, i \neq j$,那么$A_{1},…, A_{n}$则是$\Omega$的一个完备事件组。
(4)若$AB=\varnothing$,且$A \cup B = \Omega$,那么A、B互为对立事件(互为逆事件)。记$A = \bar{B}$
(5)差关系:$A - B$

运算规律
(1)交换律:$A\cap B = B\cap A$, $A\cup B = B\cup A$
(2)结合律:$ABC = (AB)C = A(BC)$, $A\cup B\cup C = (A\cup B)\cup C = A\cup (B\cup C)$
(3)分配率:

(4)对偶法则:

ex1:证明: A - B = A - AB
证:$A - B =A\bar{B} = A(1 - B) = A - AB$

ex2:某人射击3次,令$A_{i}$={第i次射中目标},i=1, 2, 3。$B_{j}$={在三次射击中,恰好击中j次}, j = 0, 1, 2, 3
则:

习题

习题1
正确答案:D
习题2
正确答案:A
习题3
正确答案:C
习题4
正确答案:A、D
习题5
正确答案:(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)

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