南京大学：概率论与数理统计-条件概率，乘法公式，全概率公式，贝叶斯公式

条件概率

我们平常所遇到的绝大多数概率都是有条件的。
定义：设有两个事件A、B，$P(B) \neq 0$，那么在给定B发生的条件下A发生的概率记为$P(A|B)$。
计算公式：$P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$
理解：试验有N个结果（等可能的）
A: $M{1}$个
B: $M{2}$个
AB: 共有$M{12}$个
若Bf发生，则现在新的样本空间为$M{2}$个，则：

$$P = \frac{M_{12}/N}{M_{2}/N} = \frac{M_{12}}{M_{2}} = \frac{P(AB)}{P(B)}$$

可以在老的样本空间进行处理，或者从新的样本空间角度进行处理
条件概率也可以推广到几何概型中。
以m(A),m(B),m(AB),$m(\Omega)$表示A, B, AB, $\Omega$所对应的测度，且m(B) > 0，则

$$P(A|B) = \frac{m(AB)}{m(B)} = \frac{m(AB)/m(\Omega)}{m(B)/m(\Omega)} = \frac{P(AB)}{P(B)}$$

若P(B) > 0，满足公理化三条定理
(1) $0 \leq P(A|B) \leq 1$
(2) $P(\Omega|B) = 1$
(3) 若$A{1}, A{2},…$互不相容，则$P(\cupA{i}|B) =\sum{i=1}^{\infty}P(A_{i}|B)$

$P(B) > 0时$，$P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}\Rightarrow P(AB) = P(B)\cdot P(A|B)$，后面这个公式称乘法公式
推广到三个事件：
设$A{1}, A{2}, A{3}$是试验E的三个事件，若$P(A{1}A{2}A{3})>0$，则

$$P(A_{1}A_{2}A_{3}) = P(A_{1})\frac{P(A_{1}A_{2})}{P(A_{1})}\frac{P(A_{1}A_{2}A_{3})}{P(A_{1}A_{2})} = P(A_{1})P(A_{2}|A_{1})P(A_{3}|A_{1}A_{2})$$

全概率公式

$B{1}, B{2},…, B{n}$是$\Omega$的一个完备事件组($B{1}\cup B{2}…\cup B{n} = \Omega, B{i}\cap B{j} = \phi(i \ne j)$)，

$$P(A) = P(A\cap \Omega) = P(AB_{1}) + P(AB_{2})...P(AB_{n}) = P(A|B_{1})P(B_{1}) + P(A|B_{2})P(B_{2})+...+P(A|B_{n})P(B_{n})$$

贝叶斯公式

$$p(B_{j}|A) = \frac{p(B_{j}A)}{p(A)} = \frac{p(B_{j})p(A|B_{j})}{\sum_{i=1}^np(B_{i})p(A|B_{i})}$$