概率论与数理统计-随机事件、样本空间

历史

概率论起源于17世纪

1654年，Pascal和Fermat对“分赌本”问题的讨论

使概率论成为数学的一个分支的真正奠基人是瑞士数学家J. 伯努利

概率论的飞速发展则在17世纪微积分学说建立以后

概率论是数理统计的基础，统计学是概率论的应用。

常见的例子

概率论与数理统计是研究随机现象的统计规律性的数学学科。

抛一枚均匀的硬币若干次

测量物理量（如：长度、时间etc）的误差

某批产品的使用寿命

随机试验(简称：试验)

定义：
(1) 可以在相同的条件下重复进行
(2) 试验的全部结果 (不止一个)，之前是知道的。
(3) 不能预言出现的结果。

随机试验出现的结果通常称为事件，通常用大写的字母A, B, C…表示。

$\Omega $: 必然事件
$\varnothing $: 不可能事件

基本事件：在试验中可直接观察到的、最基本的不能再分解的结果称为基本事件。（比如掷骰子，出现结果1，2，3，4，5，6为基本事件）
(复合)事件：由基本事件组合而成的事件。（掷骰子，出现结果为奇数为复合事件）

样本空间：由所有试验的结果组成的集合，也可以说是由全体基本事件组成的集合。用$\Omega $表示，即样本空间是必然事件，里面的样本点用$w$表示。

Ex1:将一枚硬币抛两次，H: 正面，T:反面。
则样本空间 $\Omega = {HH, HT, TH, TT}$

Ex2:连续向以目标射击，直到命中。$w{i}$:前i-1次未能命中，而第i次命中，i = 1,2,3…
这样本空间 $\Omega = {w{1}, w{2}, w{3},……}$ 无限的样本空间。

事件之间的关系与运算（集合，用venn图来表示）

（1）包含关系：$A \subset B$，如果$A \subset B$, $B \subset A$，那么$A = B$
（2）和或者并关系：$A \cup B$
（3）积或者交关系：$A \cap B = AB$，其中若$AB = \varnothing$，即A与B互不相容，或者互斥。若$A{1}\cup A{2} \cup … \cup A{n} = \Omega$，且$A{i} \cap A{j} = \varnothing, i \neq j$，那么$A{1},…, A_{n}$则是$\Omega$的一个完备事件组。
（4）若$AB=\varnothing$,且$A \cup B = \Omega$，那么A、B互为对立事件（互为逆事件）。记$A = \bar{B}$
（5）差关系：$A - B$

运算规律
（1）交换律：$A\cap B = B\cap A$, $A\cup B = B\cup A$
（2）结合律：$ABC = (AB)C = A(BC)$, $A\cup B\cup C = (A\cup B)\cup C = A\cup (B\cup C)$
（3）分配率：

$A\cap (B\cup C) = (A\cap B)\cup (A\cap C)$ $A\cup (B\cap C) = (A\cup B)\cap (A\cup C)$ $A\cap (B-C) = (AB) - (AC)$

（4）对偶法则：

$\bar{A\cup B} = \bar{A}\cap \bar{B}$ $\bar{A\cap B} = \bar{A}\cup \bar{B}$

ex1:证明: A - B = A - AB
证：$A - B =A\bar{B} = A(1 - B) = A - AB$

ex2:某人射击3次，令$A{i}$={第i次射中目标}，i=1, 2, 3。$B{j}$={在三次射击中，恰好击中j次}, j = 0, 1, 2, 3
则： $B_{0}=\bar{A_{1}}\bar{A_{2}}\bar{A_{3}}=\bar{A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}}$

$B_{1} = A_{1}\bar{A_{2}}\bar{A_{3}}\cup A_{2}\bar{A_{1}}\bar{A_{3}}\cup A_{3}\bar{A_{1}}\bar{A_{2}}$ $B_{3} = A_{1}A_{2}A_{3}$